Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 26 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Следствие 2.10. Если g непрерывно дифференцируема k раз, то свертка f ∗g (где
f — непрерывна) — тоже k раз непрерывно дифференцируема и
(f ∗ g)
(k)
= f ∗ g
(k)
.
Интересны также следующие свойства свертки.
Теорема 2.11. Свертка функций является билинейной, коммутативной и ассо-
циативной операцией, т.е.
1. (λf + µg) ∗ h = λf ∗ h + µg ∗ h ,
2. f ∗ g = g ∗ f ,
3. f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h .
Доказательство. Линейность по первому аргументу очевидна в силу линейности
интеграла. Линейность по второму аргументу может быть установлена аналогично,
но она также является следствием коммутативности. Докажем коммутативность.
f ∗ g (x) =
1
2π
2π
Z
0
f(t)g(x −t) dt = [x − t = u, dt = −du]
= −
1
2π
x−2π
Z
x
f(x − u)g(u) du =
1
2π
x
Z
x−2π
g(u)f(x −u) du
=
1
2π
2π
Z
0
g(u)f(x −u) du = g ∗ f (x) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
