Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 31 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство 1. Рассмотрим сначала непрерывно дифференцируемую на [a, b]
функцию g. Тогда
b
Z
a
g(x)e
iλx
dx =
b
Z
a
g(x)d
e
iλx
iλ
=
g(b)e
iλb
iλ
−
g(a)e
iλa
iλ
−
1
iλ
b
Z
a
g
0
(x)e
iλx
dx →
λ→∞
0 .
Фиксируем произвольно ε > 0. Функция f может быть равномерно аппроксимиро-
вана непрерывно дифференцируемой функцией g.
Например, можно использовать конструкцию типа f ∗ ω. Именно, продолжим f непрерывно на всю ось так, чтобы
вне интервала [a −1, b+ 1] она обращалась в ноль (например, можно соединить прямыми точки (a, f(a)) и ( a −1, 0) с
одной стороны и точки (b, f (b)) и (b + 1, 0) с другой, а далее считать функцию f нулем. Такая продолженная функция
f равномерно непрерывна и, фиксировав произвольно ε > 0, можно выбрать δ > 0 такое, что |x
2
− x
1
| < δ ⇒
|f(x
2
)−f (x
1
)| < ε. Выберем далее функцию ω(x) так, чтобы она была положительной непрерывно дифференцируемой
четной функцией равной нулю при |x| > δ и такой, чтобы
R
+∞
−∞
ω( x) dx = 1 . Разумеется, последний интеграл не
является несобственным, в действительности интегрирование ведется только по интервалу [−δ, δ]. Составим далее
свертку
g (x) =
+∞
Z
−∞
f(t)ω(x − t) dt ,
где под f понимается продолженная функция. Заметим, что
+∞
Z
−∞
ω( t) dt =
+∞
Z
−∞
ω( −t) dt =
+∞
Z
−∞
ω( x − t) dt = 1
и, как и ранее (в периодическом случае), получаем оценку |f (x) − g(x)| < ε для всех x, в частности, для исходной
функции f , если a 6 x 6 b.
Выберем g так, чтобы kf −gk
∞
= max
a6x6b
|f(x) −g(x)| <
ε
2(b − a)
. Пусть, далее, λ
таково, что
b
Z
a
g(x)e
iλx
dx
6
ε
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
