Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 32 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда
b
Z
a
f(x)e
iλx
dx
6
b
Z
a
(f(x)−g(x))e
iλx
dx
+
b
Z
a
g(x)e
iλx
dx
6 (b−a)kf −gk
∞
+
ε
2
= ε .
Доказательство 2. Будем считать, что f продолжена непрерывно как константа за
границы [a, b].
b
Z
a
f(x)e
iλx
dx =
b+h
Z
a+h
f(t −h)e
iλ(t−h)
dt = e
−iλh
b+h
Z
a+h
f(t −h)e
iλt
dt .
Выберем h =
π
λ
. Тогда
b
Z
a
f(x)e
iλx
dx = −
b+h
Z
a+h
f(t −h)e
iλt
dt .
Прибавляя к обеим частям равенства интеграл
b
R
a
f(x)e
iλx
dx и используя аддитив-
ность интеграла, находим
2
b
Z
a
f(x)e
iλx
dx =
b
Z
a
[f(t) −f(t −h)]e
iλt
dt −
a
Z
a+h
f(t −h)e
iλt
dt −
b+h
Z
b
f(t −h)e
iλt
dt .
Первый интеграл справа мал при λ → ∞ в связи с равномерной непрерывностью
функции f. Малость двух остальных — тривиальна: они оцениваются через M |h|,
где M — наибольшее значение модуля функции f на интервале.

Страницы