Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 34 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
свертки
f ∗ D
n
= f ∗
n
X
k=−n
e
k
=
n
X
k=−n
f ∗ e
k
=
n
X
k=−n
c
k
(f)e
k
.
Теорема 2.17 (Дирихле). Если функция f непрерывно дифференцируема и пери-
одична с периодом 2π, то ряд Фурье сходится к функции f поточечно:
f ∈ C
1
2π
⇒ f(x) =
+∞
X
n=−∞
c
n
e
inx
, x ∈ R , c
n
=
1
2π
2π
Z
0
f(x)e
−inx
dx .
Доказательство.
f(x) −f ∗ D
n
(x) = f(x)
1
2π
2π
Z
0
D
n
(x − t) dt −
1
2π
2π
Z
0
f(t)D
n
(x − t) dt
=
1
2π
2π
Z
0
[f(x) − f(t)]D
n
(x − t) dt
=
1
2π
2π
Z
0
f(x) − f(t)
x − t
·
x − t
sin
x−t
2
· sin
(2n + 1)(x − t)
2
dt →
n→+∞
0 .
Последнее вытекает из леммы Римана-Лебега и непрерывности (по t) функций
f(x) − f(t)
x − t
=
1
Z
0
f
0
(t + (x − t)θ) dθ
и
x − t
sin
x−t
2

Страницы