Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 36 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где
e
n
(x) = e
inx
,
c
n
=
1
2π
2π
Z
0
f(x)e
−inx
dx ,
kfk =
v
u
u
u
t
1
2π
2π
Z
0
|f(x)|
2
dx .
Доказательство. Фиксируем произвольно ε > 0. Аппроксимируем функцию f рав-
номерно функцией g ∈ C
1
2π
так, чтобы kf −gk
∞
<
ε
2
. В силу теоремы Дирихле, если
n достаточно велико kg −
n
X
k=−n
c
k
(g)e
k
k
∞
6
ε
2
. Из этих оценок и минимизирующего
свойства коэффициентов Фурье находим
kf −
n
X
k=−n
c
k
(f)e
k
k 6 kf −
n
X
k=−n
c
k
(g)e
k
k 6 kf − gk + kg −
n
X
k=−n
c
k
(g)e
k
k
6 kf − gk
∞
+ kg −
n
X
k=−n
c
k
(g)e
k
k
∞
=
ε
2
+
ε
2
= ε .
Замечание 2.20. Этот же результат может быть получен как следствие плотности
тригонометрических полиномов в C
2π
(теорема Стоуна – Вейершрасса). Аналогич-
ный конструктивный подход основан на теореме Фейера, где тригонометрический
полином, являющийся равномерным приближением данной непрерывной функции,
строится явно (как среднее арифметическое частичных сумм Фурье).

Страницы