Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 35 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
(элементарно).
Теорема 2.18 (Дирихле). Если функция f непрерывно дифференцируема и пери-
одична с периодом 2π, то ряд Фурье сходится к функции f равномерно.
Доказательство. Здесь все дело в скорости убывания коэффициентов Фурье. Пусть
f ∈ C
1
2π
. Тогда
c
n
(f) =
1
2π
2π
Z
0
f(x)e
−inx
dx =
1
2π
2π
Z
0
f(x) d
e
−inx
−in
=
1
2πin
2π
Z
0
f
0
(x)e
−inx
dx =
c
n
(f
0
)
in
.
Но
|c
n
(f)| 6
c
n
(f
0
)
n
6
1
2
1
n
2
+ |c
n
(f
0
)|
2
.
В силу неравенства Бесселя, ряд
+∞
X
n=−∞
|c
n
(f
0
)|
2
сходится. Также сходится и ряд
X
n6=0
1
n
2
. И тогда заключаем, что сходится ряд
+∞
X
n=−∞
|c
n
(f)|. В силу теоремы 1.4,
ряд Фурье функции f сходится к своей сумме равномерно. Но в силу предыдущей
теоремы, его суммой является функция f(x).
Теорема 2.19 (Основная). Если функция f непрерывна и периодична с периодом
2π, то ряд Фурье сходится к функции f в среднеквадратичном, т.е.
kf −
n
X
k=−n
c
n
e
n
k →
n→∞
0 ,

Страницы