Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 37 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Следствие 2.21 (Равенство Парсеваля). Если функция f непрерывна и периодич-
на с периодом 2π, то
+∞
X
n=−∞
|c
n
|
2
=
1
2π
2π
Z
0
|f(x)|
2
dx ,
где c
n
= c
n
(f).
Доказательство. Воспользуемся (2.8):
kf −
n
X
k=−n
c
k
e
k
k
2
= kfk
2
−
n
X
k=−n
|c
k
|
2
.
По доказанному в теореме, левая часть стремится к нулю. Значит, стремится к нулю
и правая, что ведет к равенству Парсеваля.
Вещественная форма равенства Парсеваля имеет вид
|a
0
|
2
4
+
1
2
∞
X
n=1
(|a
n
|
2
+ |b
n
|
2
) =
1
2π
2π
Z
0
|f(x)|
2
dx ,
так как из формул (2.6) следует
|c
n
|
2
+ |c
−n
|
2
=
|a
n
|
2
+ |b
n
|
2
2
, n ∈ N .
2.6. Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной си-
стемы
Вернемся к абстрактным обозначениям. Пусть e
1
, e
2
, . . . — ортонормированная си-
стема в унитарном пространстве V . Она называется полной, если
a ⊥ e
n
(∀n) ⇒ a = 0 .

Страницы