Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 39 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
расходится всюду, см. [5]. Эти примеры говорят о том, что вопрос о поточечной
сходимости рядов Фурье является неадекватным. Тем не менее отметим, что если
функция непрерывна и имеет на периоде ограниченную вариацию (то есть является
разностью двух монотонных функций), то поточечная сходимость имеет место.
Со сходимостью в среднеквадратичном дела обстоят намного лучше. Например,
если функция f интегрируема и интеграл
2π
Z
0
|f(x)|
2
dx
существует как несобственный с конечным числом особенностей, то ряд Фурье
функции f сходится к ней в среднеквадратичном. Принципиальным здесь яв-
ляется тот факт, что любую такую функцию с любой степенью точности мож-
но в среднеквадратичном аппроксимировать непрерывной функцией. Действитель-
но, пусть ε > 0 фиксировано и g — непрерывная периодическая с периодом 2π
функция, являющаяся аппроксимацией функции f в среднеквадратичном, так что
kf − gk 6
ε
2
. Возьмем достаточно длинный отрезок ряда Фурье функции g так,
чтобы kg −
n
X
k=−n
c
k
(g)e
k
k 6
ε
2
. Тогда
kf −
n
X
k=−n
c
k
(f)e
k
k 6 kf −
n
X
k=−n
c
k
(g)e
k
k 6 kf − gk + kg −
n
X
k=−n
c
k
(g)e
k
k 6 ε .
Может все-таки вызвать некоторый интерес следующий вопрос. Пусть функция
гладкая, за исключением нескольких точек (на периоде), где она имеет скачки. Как
ведет себя ряд Фурье в точках разрыва? (В среднеквадратичном ряд, конечно, схо-
дится). Имеет место следующая теорема
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
