Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 38 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
(Полнота понимается в том смысле, что систему нельзя расширить, добавляя к ней
новые векторы). Она называется замкнутой , если
∀a ∈ V : kak
2
=
∞
X
n=1
|c
n
(a)|
2
,
т.е. для произвольного вектора выполнено равенство Парсеваля (уравнение замкну-
тости). Как мы знаем, замкнутость означает возможность аппроксимировать (в
смысле эрмитовой нормы) произвольный вектор a частичными суммами Фурье с
любой степенью точности, т.е.
∀a ∈ V : ka −
n
X
k=1
c
k
(a)e
k
k →
n→∞
0 .
Легко видеть, что полнота ортонормированной системы является следствием ее
замкнутости. Действительно, если вектор ортогонален всем векторам замкнутой си-
стемы, то в силу уравнения замкнутости, норма такого вектора равна нулю, а, сле-
довательно, и сам вектор равен нулю.
Можно показать (методами теории гильбертовых пространств), что в действи-
тельности понятия замкнутости и полноты равносильны.
В предыдущем пункте было, таким образом, доказано, что система экспонент
e
n
(x) = e
inx
(n ∈ Z) является полной и замкнутой системой в унитарном простран-
стве непрерывных периодических с периодом 2π функций.
2.7. Замечания по поводу сходимости
Следует заметить, что ряд Фурье просто непрерывной (периодической) функции, не
обладающей каким-либо дополнительным свойством гладкости, может расходится в
бесконечном (даже — несчетном) множестве точек, см. [1]. Если функцию еще ухуд-
шить, но так, что она останется интегрируемой по Лебегу, ряд Фурье вообще может
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
