Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 40 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теорема 2.22 (Дирихле). Пусть функция f кусочно непрерывно дифференцируе-
ма и периодична с периодом 2π. Тогда ряд Фурье при ∀x сходится к
f(x −0) + f(x + 0)
2
,
т.е. в точке непрерывности ряд Фурье сходится к значению функции, а в точке
разрыва — к полусумме предельных значений.
Напомним, что кусочная непрерывность 2π-периодической функции означает, что
на периоде функция имеет лишь конечное число разрывов первого рода (скачков).
Кусочная непрерывная дифференцируемость будет, таким образом, означать, что
производная функции имеет на периоде не более чем конечное число скачков (при
этом непрерывность самой функции, вообще говоря, не предполагается и при необ-
ходимости должна оговариваться отдельно).
В точках разрыва функции f ряд Фурье сходится к функции очень неравномерно.
Именно, если x
0
— точка разрыва первого рода функции f и, для определенности,
f(x
0
− 0) < f (x
0
+ 0), то
lim
n→∞
x→x
0
s
n
(x) > f(x
0
+ 0) , lim
n→∞
x→x
0
s
n
(x) < f(x
0
− 0) ,
где s
n
=
n
X
k=−n
c
k
e
k
, т.е. предельная флуктуация частичной суммы Фурье больше,
чем скачок самой функции в точке разрыва. Такое поведение суммы Фурье в точках
разрыва носит название явления Гиббса, см. рис. 3.
2.7.1. Пример.
Рассмотрим функцию f , заданную на интервале (0, 2π) равенством f(x) = x и далее
продолженную периодически на всю ось. Эта функция кусочно непрерывно диф-
ференцируема. Именно, в точках x = 2πn , n ∈ Z она имеет разрывы-скачки, в
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
