Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 33 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теперь, чтобы сформулировать основную теорему о сходимости, нам потребуется
провести одно предварительное вычисление.
Определение 2.15. Ядром Дирихле называется функция
D
n
(x) =
n
X
k=−n
e
ikx
.
Лемма 2.16. Ядро Дирихле D
n
является непрерывной периодической с периодом
2π четной функцией равной
D
n
(x) =
sin
(2n+1)x
2
sin
x
2
,
причем
1
2π
2π
Z
0
D
n
(x) dx = 1 . (2.13)
Доказательство.
D
n
(x) =
n
X
k=−n
e
ikx
= e
−inx
2n
X
j=0
(e
ix
)
j
= e
−inx
1 −e
i(2n+1)x
1 − e
ix
= e
−inx
e
i
2n+1
2
x
e
ix
2
·
e
−i
2n+1
2
x
− e
i
2n+1
2
x
e
−
ix
2
− e
ix
2
=
sin
(2n+1)x
2
sin
x
2
,
откуда вытекает, также, свойство четности. Равенство (2.13) вытекает из (1.2).
Ядро Дирихле замечательно тем, что частичная сумма Фурье функции f являет-
ся сверткой функции f с ядром Дирихле, как сразу следует из (2.12) и билинейности

Страницы