Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 62 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Естественно возникают вопросы: какова область значений оператора L, т.е. при
каких f уравнение (4.3) имеет решение? Единственно ли решение, если задача разре-
шима? Для ответа на эти вопросы нужно изучить спектральные свойства операто-
ра L. Последнее означает, что нужно изучить разрешимость задачи на собственные
функции и собственные значения оператора L, т.е. найти все пары (λ, y), где λ ∈ C
и y ∈ V
2
, y 6= 0 такие, что
L(y) = λy .
Мы увидим, что задача на собственные функции и собственные значения операторов
краевых задач является источником различных ортонормированных (в определен-
ном смысле) систем — систем собственных функций. Если задача на собственные
функции и собственные значения оператора L решена и привела к полной ортонор-
мированной системе (в каком-то смысле) собственных функций ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , причем
среди собственных значений λ
n
нет равного нулю, решение краевой задачи фор-
мально строится элементарно. Действительно, разложим функцию f в ряд Фурье
относительно о.н.с. ϕ
n
f =
∞
X
n=1
c
n
(f)ϕ
n
.
Будем искать решение y краевой задачи также в виде ряда Фурье
y =
∞
X
n=1
c
n
(y)ϕ
n
.
Считая, например, что скорость сходимости этого ряда позволяет пронести оператор
L за знак суммы
L
∞
X
n=1
c
n
(y)ϕ
n
=
∞
X
n=1
c
n
(y)L(ϕ
n
)
найдем, что уравнение (
4.3), ввиду L(ϕ
n
) = λ
n
ϕ
n
, примет вид
λ
n
c
n
(y) = c
n
(f) , n = 1, 2, . . .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
