Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 83 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Последнее возможно в силу леммы Римана–Лебега:
I
2
=
1
√
2π
Z
|x|6N
f(x)e
−iξx
dx →
ξ→∞
0 .
Таким образом, при достаточно больших ξ
|
b
f(ξ)| < ε .
5.3. Формула обращения
Для доказательства теоремы Фурье нам понадобится следующее свойство ядра Ди-
рихле, которое в случае интеграла Фурье определяется равенством
D
N
(x −t) =
1
π
·
sin N(x − t)
x − t
.
Лемма 5.1. При N > 0 и при любом x ∈ R
1
π
+∞
Z
−∞
sin N(x − t)
x − t
dt = 1 , (5.8)
причем интеграл сходится равномерно по N при N > 1.
Доказательство. Установим сначала равномерность. Пусть T — достаточно боль-
шое положительное число, так что |x| < T . Тогда
+∞
Z
T
sin N(x − t)
x − t
dt =
+∞
Z
t=T
d cos N(x −t)
N(x −t)
= −
cos N(x −T )
N(x −T )
−
+∞
Z
T
cos N(x −t)
N(x −t)
2
dt
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
