Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 86 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Заметим, далее, что
|Φ(x)| 6
2
π
+∞
Z
0
e
−xt
dt = −
2
π
e
−xt
x
+∞
t=0
=
2
πx
→
x→+∞
= 0 .
Тогда согласно формуле Ньютона–Лейбница для несобственного интеграла
−Φ(0+) = lim
x→+∞
Φ(x) −Φ(0+) =
+∞
Z
0
Φ
0
(x) dx = −
2
π
arctg x
+∞
0
= −1 .
Но ввиду равномерной по x сходимости интеграла Φ(x)
Φ(0+) =
2
π
+∞
Z
0
sin t
t
dt =
1
π
+∞
Z
−∞
sin t
t
dt ,
т.е.
1
π
+∞
Z
−∞
sin t
t
dt = 1 .
Теорема 5.2 (Фурье). Пусть функция f непрерывна и абсолютно интегрируема
на вещественной оси и пусть она дифференцируема в точке x. Тогда
f(x) =
1
√
2π
v.p.
+∞
Z
−∞
b
f(ξ)e
iξx
dξ ≡
1
√
2π
lim
N→+∞
N
Z
−N
b
f(ξ)e
iξx
dξ .
Замечание 5.3. Сокращение v.p. перед знаком интеграла читается как «главное
значение» интеграла.

Страницы