Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 87 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Положим
f
N
(x)
Опр.
=
1
√
2π
+N
Z
−N
b
f(ξ)e
iξx
dξ =
1
2π
N
Z
−N
dξ
+∞
Z
−∞
f(t)e
iξ(x−t)
dt . (5.9)
Используя теорему об интегрировании несобственного интеграла по параметру и
свойства четности, найдем
f
N
(x) =
1
2π
N
Z
−N
dξ
+∞
Z
−∞
f(t) cos ξ(x −t) dt +
i
2π
N
Z
−N
dξ
+∞
Z
−∞
f(t) sin ξ(x − t) dt
=
1
π
+∞
Z
−∞
dt f(t)
N
Z
0
cos ξ(x − t) dξ =
1
π
+∞
Z
−∞
f(t)
sin N(x − t)
x − t
dt .
Тогда
f(x) − f
N
(x) =
1
π
+∞
Z
−∞
f(x)
sin N(x − t)
x − t
dt −
1
π
+∞
Z
−∞
f(t)
sin N(x − t)
x − t
dt
=
1
π
+∞
Z
−∞
f(x) − f(t)
x − t
· sin N (x − t) dt .
Последний интеграл разобьем на три части:
+∞
Z
−∞
=
−T
Z
−∞
+
T
Z
−T
+
+∞
Z
T
, (5.10)

Страницы