Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 91 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
5.5. Гладкость преобразований Фурье быстро убывающих функ-
ций и скорость убывания преобразований Фурье гладких
функций
Если функция f(x) непрерывна и сходится интеграл
+∞
Z
−∞
|xf(x)|dx ,
то преобразование Фурье
b
f(ξ) является непрерывно дифференцируемой функцией,
причем производная
d
dξ
b
f(ξ) является преобразованием Фурье функции −ixf(x):
d
b
f(ξ)
dξ
=
1
√
2π
+∞
Z
−∞
(−ix)f(x)e
−iξx
dx .
Это сразу вытекает из теоремы о дифференцировании несобственного интеграла
по параметру, поскольку здесь интеграл справа, полученный формальным диффе-
ренцированием преобразования Фурье функции f под знаком интеграла, сходится
равномерно по ξ.
Как следствие получаем, если функция f (x) непрерывна и абсолютно интегри-
руема со степенью |x|
n
, ее образ Фурье
b
f(ξ) является n раз непрерывно дифферен-
цируемой функцией, причем
(−ix)
n
f(x)
F
7−→
d
n
dξ
n
b
f(ξ) .
Рассмотрим теперь вопрос о скорости убывания преобразования Фурье гладкой
функции.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
