Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 95 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Напомним, что в абстрактном унитарном пространстве V оператор A
∗
называется
сопряженным к оператору A, если
∀a , b ∈ V : hAa|bi = ha|A
∗
bi.
Оператор A называется при этом унитарным, если
AA
∗
= A
∗
A = I , т.е. A
∗
= A
−1
.
Унитарное преобразование сохраняет скалярное произведение и, в частности, норму
вектора:
hAa|Abi = ha|A
∗
Abi = ha|bi, kAak = kak.
Теорема 5.5. Оператор Фурье унитарен на пространстве Шварца:
F
∗
= F
−1
.
Доказательство. Пусть f, g ∈ S(R). Тогда
hF f|gi =
+∞
Z
−∞
dξ
1
√
2π
+∞
Z
−∞
dx f(x)e
−iξx
g(ξ) =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
dx
+∞
Z
−∞
dξ f(x)e
iξx
g(ξ)
=
+∞
Z
−∞
dx f(x)
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
iξx
g(ξ) dξ = hf|F
−1
gi.
Перестановка порядков интегрирования возможна ввиду равномерной сходимости
интегралов.
Следствие 5.6 (Равенство Парсеваля).
+∞
Z
−∞
|
b
f(ξ)|
2
dξ =
+∞
Z
−∞
|f(x)|
2
dx .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
