Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 96 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
В дальнейшем вообще через F
∗
будет обозначаться оператор
F
∗
= P F , F
∗
: f 7→
e
f ,
e
f(ξ) =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f(x)e
iξx
dx ,
и называться сопряженным преобразованием Фурье.
Замечание 5.7. Как легко видеть, формула
hF f|gi = hf |F
∗
gi
будет верна для значительно более широкого класса функций, нежели класс Швар-
ца. Достаточно, чтобы f и g были непрерывными (кусочно непрерывными), абсо-
лютно интегрируемыми функциями. Как следствие, будем иметь равенство
h
b
f|bgi = hf |gi,
если f — непрерывная, абсолютно интегрируемая функция, а bg — абсолютно инте-
грируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции g.
Действительно, в этом случае, в силу формулы обращения, g = F
−1
bg и тогда
h
b
f|bgi = hF f |bgi = hf|F
−1
bgi = hf|gi.
В частности, равенство Парсеваля
k
b
fk = kfk
сохраняет силу, когда
b
f — абсолютно интегрируемый образ Фурье дифференцируе-
мой и абсолютно интегрируемой функции f. В действительности, методами функци-
онального анализа можно показать, что для равенства Парсеваля достаточно лишь
одной квадратичной интегрируемости функций!
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
