Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 148 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
y = y(x, λ
0
) заключаем:
∂y
∂λ
6= 0
при λ = λ
0
и x ∈ (x
0
, x
2
]. В частности, производная y
0
λ
(x, λ
0
) не обращается в
ноль всюду при x ∈ [x
1
, x
2
]. Тогда по теореме 8.20 экстремаль y = y(x) , x ∈
[x
1
, x
2
] вкладывается в поле экстремалей y = y(x, λ). Функцию наклона этого поля
обозначим через z(x, y).
Заметим, далее, что в силу формулы Тейлора:
F (x, y, v) = F (x, y, u) + F
0
u
(x, y, u)(v − u) +
F
00
uu
(x, y, w)
2
(v −u)
2
,
где w — некоторая точка, лежащая между u и v. Как видим, функция Вейерштрасса
E (8.29) удовлетворяет равенству
E(x, Y, z, Y
0
) =
F
00
zz
(x, Y, Z)
2
(Y
0
− z)
2
, (8.31)
где Z лежит между Y
0
и z. Усиленное условие Лежандра в силу непрерывно-
сти функции F
00
y
0
y
0
будет выполнено в достаточно малой окрестности V экстрема-
ли y(x, λ
0
) в смысле C
1
-нормы. Ограничим как размеры поля экстремалей, так и
множество сравнимых функций Y окрестностью V . Тогда в этой окрестности при
Y 6= y
E(x, Y, z, Y
0
) > 0
и согласно формуле (8.30)
∆I[y] =
x
2
Z
x
1
E(x, Y, z, Y
0
) dx > 0 .

Страницы