Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 149 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Замечание 8.24. Отметим отдельно некоторые положения приведенного доказатель-
ства.
Во–первых, требование трижды непрерывной дифференцируемости F связано с
обращением к условию Якоби, см. пункт 8.6.
Во–вторых, доказательство основывается на формуле (8.30) для полного прира-
щения. Для того, чтобы произвольная (но близкая) сравнимая функция Y в
каждой своей точке пересекалась некоторой экстремалью семейства и требует-
ся построение поля экстремалей, в которое погружается исходная экстремаль.
В–третьих, построение поля основывается на теореме 8.2 и, прежде всего, усло-
вии y
0
λ
6= 0. Отсутствие сопряженных точек гарантирует выполнение этого
неравенства на сегменте (x
0
, x
2
], где x
0
— начальная точка пучка экстрема-
лей. Именно поэтому не достаточно выпустить пучок экстремалей из точки x
1
,
а приходится отступить влево от точки x
1
. При этом важно сохранить условие
Якоби и для сдвинутой точки, что гарантируется следствием 8.14.
Наконец, окрестность V следует представлять как множество точек (x, y, z) трех-
мерного пространства, удовлетворяющих условиям
x ∈ (x
1
− δ, x
2
+ δ) ⇒ |y − y(x)| < ε , |z − y
0
(x)| < ε ,
для некоторых положительных δ и ε. Сравнимая функция Y , например, будет
лежать в этой окрестности, если
x ∈ (x
1
− δ, x
2
+ δ) ⇒ |Y (x) − y(x)| < ε , |Y
0
(x) − y
0
(x)| < ε ,
и аналогично для экстремалей поля.
Аналогично устанавливается
Теорема 8.25 (Достаточное условие сильного относительного минимума).
Пусть функция F (x, y, z) является трижды непрерывно дифференцируемой. Если
кривая y = y(x) не содержит угловых точек и удовлетворяет:

Страницы