Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 167 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Как и в одномерном случае
∂H
∂p
j
= ˙q
j
+
n
X
i=1
p
i
·
∂ ˙q
i
∂p
j
| {z }
−
n
X
i=1
∂L
∂ ˙q
i
·
∂ ˙q
i
∂p
j
| {z }
= ˙q
j
(j = 1, . . . , n) .
Эти равенства являются явными решениями уравнений (9.9) относительно обобщен-
ных скоростей:
∂H
∂p
j
= P
j
, ˙q
j
= P
j
(t, q
1
, . . . , q
n
, p
1
, . . . , p
n
) , p
j
= L
0
˙q
j
(t, q
1
, . . . , q
n
, ˙q
1
, . . . , ˙q
n
) .
Воспользуемся тождеством (9.8)
2T =
n
X
j=1
˙q
j
∂T
∂ ˙q
j
.
Подстановка его в (9.10) дает
H =
n
X
i=1
∂T
∂ ˙q
i
˙q
i
− L = 2T − (T − V ) = T + V ,
что определяет смысл гамильтониана как полной энергии системы.
Далее,
∂H
∂q
j
=
n
X
i=1
p
i
·
∂ ˙q
i
∂q
j
−
∂L
∂q
j
−
n
X
i=1
∂L
∂ ˙q
i
·
∂ ˙q
i
∂q
j
= −
∂L
∂q
j
,
откуда в силу уравнений Эйлера–Лагранжа (9.6)
dp
j
dt
=
d
dt
∂L
∂ ˙q
j
=
∂L
∂q
j
= −
∂H
∂q
j
.

Страницы