Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 169 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
9.3.4. Функция поля. Уравнение Гамильтона–Якоби
Интеграл Гильберта определяется равенством
U{γ,f
f
f} =
Z
γ
L(q
q
q,f
f
f) −
n
X
i=1
f
i
L
0
f
i
(q
q
q,f
f
f)
dt +
n
X
i=1
L
0
f
i
(q
q
q,f
f
f)dq
i
=
Z
γ
[L − hf
f
f|∇
f
f
f
Li]dt + h∇
f
f
f
L|dq
q
qi,
где q
q
q = (q
1
, . . . , q
n
) , f
f
f = (f
1
, . . . , f
n
) и f
i
= f
i
(t,q
q
q) — функции наклона. Если
q
q
q = q
q
q(t, λ) — n-параметрическое семейство экстремалей q
i
= q
i
(t, λ
1
, . . . , λ
n
) и
f
i
= ˙q
i
(i = 1, . . . , n) ,
то интеграл Гильберта не зависит от пути интегрирования (от формы пути, но не
от конечной и начальной точек) при условии, что путь γ застилается экстремалями
семейства q
q
q = q
q
q(t, λ).
Как и в одномерном случае, если функции наклона f
i
являются непрерывно диф-
ференцируемыми в некоторой области D ⊂ R
n+1
и решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
˙
q
q
q = f
f
f(t, q
q
q)
являются экстремалями функционала
I =
t2
Z
t
1
L dt ,
то говорят, что функция наклона f
f
f определяет поле экстремалей с полем направле-
ний (1, f
f
f). Через каждую точку области D проходит одна и только одна экстремаль
поля.

Страницы