Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 168 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Как и в одномерном случае мы пришли к канонической форме уравнений Эйлера–
Лагранжа
dq
j
dt
=
∂H
∂p
j
,
dp
j
dt
= −
∂H
∂q
j
,
(9.11)
j = 1, . . . , n.
9.3.3. Скобка Пуассона
Пусть Φ(q
1
, . . . , q
n
, p
1
, . . . , p
n
) и Ψ(q
1
, . . . , q
n
, p
1
, . . . , p
n
) — две дифференцируемые
функции канонических переменных. Их скобкой Пуассона {Φ, Ψ} называется функ-
ция
{Φ, Ψ} =
n
X
i=1
∂Φ
∂p
i
·
∂Ψ
∂q
i
−
∂Φ
∂q
i
·
∂Ψ
∂p
i
.
Если теперь переменные q
1
, . . . , q
n
, p
1
, . . . , p
n
меняются согласно уравнениям движе-
ния (9.11), то
dΦ
dt
=
n
X
i=1
∂Φ
∂q
i
·
dq
i
dt
+
∂Φ
∂p
i
·
dp
i
dt
=
n
X
i=1
∂Φ
∂q
i
·
∂H
∂p
i
−
∂Φ
∂p
i
·
∂H
∂q
i
= {H, Φ}.
Как следствие, величина Φ, не зависящая явно от времени, является первым инте-
гралом уравнений движения (9.11) тогда и только тогда, когда ее скобка Пуассона с
функцией Гамильтона равна нулю:
Φ(q
1
, . . . , q
n
, p
1
, . . . , p
n
) = Const ⇐⇒ {H, Φ} = 0 .

Страницы