Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 170 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Если f
f
f — функция наклона поля экстремалей, то функция поля определяется
равенством
S(t,q
q
q) =
(t,q
q
q)
Z
[L − hf
f
f|∇
f
f
f
Li]dt + h∇
f
f
f
L|dq
q
qi =
(t,q
q
q)
Z
hp
p
p|dq
q
qi−Hdt , p
p
p = (p
1
, . . . , p
n
) .
Напомним, что в последнем равенстве функции p
i
следует рассматривать как слож-
ные
p
i
=
∂L
∂ ˙q
i
, L = L(q
1
, . . . , q
n
, ˙q
1
, . . . , ˙q
n
) , ˙q
i
= f
i
.
При этом
∂S
∂t
= −H ,
∂S
∂q
i
= p
i
,
что ведет к уравнению Гамильтона–Якоби
∂S
∂t
+ H
q
1
, . . . , q
n
,
∂S
∂q
1
, . . . ,
∂S
∂q
n
= 0 ,
или кратко
∂S
∂t
+ H(q
q
q, ∇
q
q
q
S) = 0 ,
также определяющему функцию поля.
Если S(t, q
1
, . . . , q
n
, α
1
, . . . , α
n
) — n-параметрическое семейство решений уравне-
ния Гамильтона–Якоби, то в условиях регулярности и при условии
det
∂
2
S
∂q
i
∂α
j
6= 0 ,
решение q
q
q = q
q
q(t) системы уравнений
∂S
∂α
i
= β
i
(i = 1, . . . , n) (9.12)

Страницы