Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 171 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
при любых фиксированных значениях параметров α
i
и β
i
, является экстремалью
функционала I. При этом равенства (9.12) (неявно) совместно с системой
p
i
=
∂S
∂q
i
определяют решение канонической системы (теорема Якоби).
9.3.5. Канонические преобразования
Выбор обобщенных координат и импульсов не является однозначным. Наряду с
каноническими переменными q
1
, . . . , q
n
, p
1
, . . . , p
n
, отвечающими гамильтониану H
рассмотрим новые канонические переменные Q
1
, . . . , Q
n
, P
1
, . . . , P
n
, отвечающие га-
мильтониану K, так что канонические уравнения примут вид
dQ
j
dt
=
∂K
∂P
j
,
dP
j
dt
= −
∂K
∂Q
j
,
j = 1, . . . , n. Тот факт, что выписанные уравнения эквивалентны уравнениям (9.11)
означает, что функции Лагранжа, отвечающие этим двум системам канонических
уравнений, отличаются лишь на полную производную (по времени) некоторой функ-
ции обобщенных координат (как старых, так и новых), см. теорему 3.2:
n
X
i=1
p
i
˙q
i
− H =
n
X
i=1
P
i
˙
Q
i
− K +
˙
W , W = W (t, q
1
, . . . , q
n
, Q
1
, . . . , Q
n
) .
Умножая на dt и раскрывая полную производную функции W , найдем
n
X
i=1
p
i
−
∂W
∂q
i
dq
i
−
n
X
i=1
P
i
+
∂W
∂P
i
dQ
i
+
K − H −
∂W
∂t
dt = 0 ,

Страницы