Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 174 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Положим
L[y] = qy − (py
0
)
0
.
Напомним некоторые элементарные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля
L[y] = λy ,
(
y(a) = 0 ,
y(b) = 0 .
1. Если y(x) — собственная функция уравнения Штурма–Лиувилля, то y
0
(a) 6= 0
и y
0
(b) 6= 0.
Действительно, если, например, y
0
(a) = 0, то в силу y(a) = 0 и единственности
решения задачи Коши функция y тождественна равна нулю: y(x) ≡ 0.
2. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до знака
нормированная собственная функция.
Действительно, если y
1
и y
2
— собственные функции, отвечающие собствен-
ному значению λ, то их линейная комбинация
y(x) = y
0
2
(a)y
1
(x) − y
0
1
(a)y
2
(x)
также удовлетворяет уравнению L[y] = λy и нулевым начальным данным
y(a) = 0 , y
0
(a) = 0, т.е. тождественно равна нулю. Как следствие, решения y
1
и y
2
пропорциональны. Условие нормировки
b
Z
a
y
2
(x) dx = 1
фиксирует собственную функцию с точность до знака.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- …
- следующая ›
- последняя »
