Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 175 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3. Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля вещественны. Соответству-
ющие им собственные функции могут быть выбраны вещественными.
Действительно, если f и g — произвольные дважды непрерывно дифференци-
руемые функции, удовлетворяющие нулевым граничным условиям
f(a) = f(b) = g(a) = g(b) = 0 ,
то формула интегрирования по частям оправдывает равенство
b
Z
a
[qf −(pf
0
)
0
]g dx =
b
Z
a
f[qg − (pg
0
)
0
] dx .
Таким образом, полагая по определению
hf|gi =
b
Z
a
fg dx , kfk =
p
hf|fi,
заключаем, что
hL[f]|gi = hf|L[g]i.
Это свойство называется симметричностью оператора L. Если теперь y — соб-
ственная функция, отвечающая собственному значению λ, то
λkyk
2
= hL[y]|yi = hy|L[y]i = λkyk
2
,
откуда в силу kyk 6= 0 получаем λ = λ, т.е. λ — вещественно.
Далее заметим, что в силу линейности уравнения L[y] = λy и вещественности
коэффициентов p и q отдельно вещественная и мнимая части собственной
функции y будут являться решениями уравнения этого уравнения.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать вещественность собственных
функций.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- …
- следующая ›
- последняя »
