Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 177 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Очевидны свойства
1. Если λ — собственное значение, отвечающее нормированной собственной
функции y оператора L, то
I[y] = λ . (10.7)
Действительно,
I[y] = hL[y]|yi = λkyk
2
= λ .
2. Если y собственная функция оператора L, а z — ортогональна к y, то
K(y, z) = 0 . (10.8)
Действительно, если λ — соответствующее y собственное значение, то
K(y, z) = hL[y]|zi = λhy|zi = 0 .
Пусть теперь ищется функция y, сообщающая минимум функционалу I[y]. Мож-
но доказать, см. приложение
A, что существует нормированная непрерывно диффе-
ренцируемая функция y = y
1
(x), доставляющая минимум интегралу I[y]. При неко-
тором значении λ = λ
1
она должна удовлетворять уравнению Эйлера (10.4). Это
означает, что задача Штурма–Лиувилля имеет собственную функцию y
1
, отвечаю-
щую собственному значению λ
1
. При этом
min
ky k =1
I[y] = I[y
1
] = λ
1
.
Как следствие, отметим неравенство
I[y] > λ
1
kyk
2
, (10.9)
причем знак равенства имеет место только для функций ±y
1
. Действительно, если
kyk = k, то
I[y] = I[kz] = k
2
I[z] > k
2
λ
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- …
- следующая ›
- последняя »
