Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 179 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
с теорией изопериметрических задач, эта минимизирующая функция является без-
условной экстремалью функционала
J =
b
Z
a
py
02
+ qy
2
− µy
2
−
n−1
X
i=1
ν
i
y
i
y
dx ,
где µ и ν
1
, . . . , ν
n−1
— множители Лагранжа. Уравнение Эйлера
2qy − 2µy −
n−1
X
i=1
ν
i
y
i
− (py
0
)
0
= 0
имеет вид
L[y] = µy +
1
2
n−1
X
i=1
ν
i
y
i
.
Умножая это равенство на y
j
, (j < n) и интегрируя, находим
0 = K(y, y
j
) = hL[y]|y
j
i = µhy|y
j
i +
1
2
n−1
X
i=1
ν
i
hy
i
|y
j
i =
ν
j
2
,
где мы использовали условия ортогональности и свойство (10.8). Итак, все множите-
ли ν
j
являются нулями, т.е. уравнение Эйлера превращается в уравнение Штурма–
Лиувилля
L[y] = µy ,
функция y является собственной и в силу (10.7)
I[y] = µ ,
т.е. µ является наименьшим значением интеграла I в рассматриваемой задаче на
условный экстремум. Остается заметить, что нормированная собственная функция

Страницы