Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 180 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
y
n
, отвечающая собственному значению λ
n
, также удовлетворяет условиям
I[y
n
] = λ
n
, y
n
(a) = y
n
(b) = 0 ,
b
Z
a
y
2
n
dx = 1 ,
b
Z
a
y
n
y
i
dx = 0 (i = 1, . . . , n − 1) ,
что означает, что λ
n
> µ, а следовательно, λ
n
= µ. Апелляция к методу математи-
ческой индукции завершает доказательство теоремы.
10.2. Минимаксное свойство собственных чисел
Отметим, далее, следующее свойство собственных чисел.
Теорема 10.2 (Курант). Пусть µ — минимум интеграла I[y] при условиях
b
Z
a
y
2
dx = 1 ,
b
Z
a
z
i
y dx = 0 (i = 1, . . . , n − 1) ,
где z
1
, . . . , z
n−1
— произвольные фиксированные непрерывно дифференцируемые
функции. Тогда
µ 6 λ
n
,
где λ
n
— собственное значение оператора Штурма–Лиувилля, ассоциированного
с квадратичным функционалом I[y].
Доказательство. Положим
y =
n
X
j=1
c
j
y
j
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- …
- следующая ›
- последняя »
