Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 181 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где y
1
. . . , y
n
— нормированные собственные функции соответствующей задачи
Штурма–Лиувилля. Фиксируем коэффициенты c
j
так, чтобы
b
Z
a
y
2
dx =
n
X
i=1
c
2
j
= 1 ,
b
Z
a
z
i
y dx =
n
X
i=1
A
ij
c
j
= 0 (i = 1, . . . , n − 1) ,
где A
ij
= hz
i
|y
j
i. Эта система имеет решение, поскольку
rank (A
ij
) 6 n − 1 .
Тогда
µ 6 I[y] = I
n
X
j=1
c
j
y
j
=
n
X
j=1
c
2
j
I[y
j
] +
X
i6=j
c
i
c
j
K(y
i
, y
j
) =
n
X
j=1
c
2
j
λ
j
6 λ
n
X
j=1
c
2
j
= λ
n
.
Следствие 10.3. Пусть при всех x ∈ [a, b]
p(x) 6 P (x) , q(x) 6 Q(x) .
Пусть λ
n
и Λ
n
— упорядоченные по возрастанию последовательности собствен-
ных значений задач Штурма–Лиувилля, ассоциированных с функционалами
I[y] =
b
Z
a
[py
02
+ qy
2
] dx , J[y] =
b
Z
a
[P y
02
+ Qy
2
] dx .
Тогда
λ
n
6 Λ
n
.

Страницы