Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 183 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Задачи Штурма–Лиувилля для этих функционалов имеют вид
−p
j
y
00
+ q
j
y − λy = 0 , y(a) = y(b) = 0 ,
и легко решаются. Действительно, фундаментальная система решений образована
функциями
e
ik
j
x
, e
−ik
j
x
,
где
k
2
j
=
λ − q
j
p
j
.
Граничные условия ведут к системе
(
C
1
e
ik
j
a
+ C
2
e
−ik
j
a
= 0
C
1
e
ik
j
b
+ C
2
e
−ik
j
b
= 0 ,
которая имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, т.е.
e
ik
j
a
e
−ik
j
b
− e
−ik
j
a
e
ik
j
b
= 0 ⇒ e
2ik
j
(b−a)
= 1 ,
что означает, что k
j
должно быть вещественным (будем считать его также неотри-
цательным) и равным
k
j
=
πn
b − a
(n = 0, 1, . . .) .
Таким образом, мы нашли собственные значения λ
n
(j) этих задач
λ
n
(j) =
π
2
n
2
p
j
(b − a)
2
+ q
j
и, тем самым, оценку для собственных значений основной задачи
π
2
n
2
p
1
(b − a)
2
+ q
1
6 λ
n
6
π
2
n
2
p
2
(b − a)
2
+ q
2
.
Расходимость λ
n
к бесконечности теперь очевидна.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- …
- следующая ›
- последняя »
