Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 185 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
A.2. Существование непрерывного предела
Последовательность u
n
вообще говоря не сходится. Однако мы покажем, что неко-
торая ее подпоследовательность u
n
k
равномерно сходится к непрерывной функции
y.
Во-первых, отметим одно важное свойство минимизирующей последовательно-
сти. Полагая p
1
= min p, находим предварительно
b
Z
a
u
02
n
dx 6
1
p
1
b
Z
a
pu
02
dx 6
I[u
n
] − q
1
p
1
6 C ,
где C не зависит от n, т.к. последовательность I[u
n
] ограничена. Как следствие,
согласно неравенству Шварца
|u
n
(x
2
) − u
n
(x
1
)| =
x
2
Z
x
1
1 · u
0
n
(x) dx
6
p
|x
2
− x
1
| ·
v
u
u
u
t
x
2
Z
x
1
u
02
n
(x) dx 6 C
p
|x
2
− x
1
|,
где x
1
и x
2
— произвольные точки интервала [a, b]. Подчеркнем, что оценка
|u
n
(x
2
) − u
n
(x
1
)| 6 C
p
|x
2
− x
1
| (A.2)
верна при всех n. Такое свойство называют равностепенной непрерывностью по-
следовательности u
n
. Из него, в частности, вытекает равномерная ограниченность
функций u
n
:
|u(x)| 6 C
√
b − a .
Во-вторых, отметим, что непрерывную функцию достаточно определить лишь
на множестве рациональных чисел из [a, b]. Пусть r
1
, r
2
, . . . — последовательность
всех рациональных чисел из [a, b]. Последовательность чисел u
n
(r
1
) ограничена, а
следовательно, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
u
1n
(r
1
) → y(r
1
) .

Страницы