Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 186 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Последовательность чисел u
1n
(r
2
) также ограничена и из нее снова можно извлечь
сходящуюся
u
2n
(r
2
) → y(r
2
) .
Отметим, что последовательность функций u
2n
сходится уже в двух точках — r
1
и r
2
. Продолжая этот процесс неограниченно, рассмотрим диагональную последова-
тельность u
nn
. Эта последовательность будет сходится в любой точке r
k
, т.к. при
n > k она становится подпоследовательностью последовательности u
kn
, которая по
построению сходится при r
1
, . . . , r
k
. Переходя к пределу в неравенстве
|u
nn
(x
2
) − u
nn
(x
1
)| 6 C
p
|x
2
− x
1
|,
где x
1
и x
2
— произвольные рациональные точки интервала [a, b], получим неравен-
ство
|y(x
2
) − y(x
1
)| 6 C
p
|x
2
− x
1
|,
т.е. построенная функция y является непрерывной на множестве рациональных то-
чек и может быть продолжена по непрерывности на все точки из интервала [a, b] с
сохранением последнего неравенства уже для произвольных точек x
1
и x
2
из интер-
вала [a, b].
Нетрудно видеть, что наша диагональная последовательность u
nn
сходится к y
во всех точках интервала. Действительно,
|u
nn
(x)−y(x)| 6 |u
nn
−u
nn
(r)|+|u
nn
(r)−y(r)|+|y(r)−y(x)| 6 2
p
|x − r|+|u
nn
(r)−y(r)|.
Остается выбрать рациональное приближение r числа x так, чтобы для произволь-
ного наперед заданного числа ε > 0 было выполнено неравенство
2
p
|x − r| <
ε
2
,
а затем выбрать n достаточно большим так, чтобы
|u
nn
(r) − y(r)| <
ε
2
,

Страницы