Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 187 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
что в совокупности даст
|u
nn
(x) − y(x)| < ε .
Остается показать, что из последовательности u
nn
можно извлечь подпоследо-
вательность, которая сходится к y уже равномерно. Это опять является следстви-
ем (A.2). Действительно, определим x
n
как точку наибольшего значения функции
|u
nn
− y(x) на интервале [a, b]. Тогда из последовательности x
n
можно извлечь схо-
дящуюся подпоследовательность x
n
k
→ c ∈ [a, b]. Положим v
k
= u
n
k
n
k
, тогда
|v
k
(x) − y(x)| 6 |v
k
(x
n
k
) − y(x
n
k
)|
6 |v
k
(x
n
k
) − v
k
(c)| + |v
k
(c) − y(c)| + |y(c) − y(x
n
k
)|
6 2C
p
|x
n
k
− c| + |v
k
(c) − y(c)|.
Правую часть полученного неравенства можно сделать сколь угодно малой при до-
статочно больших k, что означает, что последовательность v
k
сходится к y равно-
мерно.
Заметим, что тогда
hy|y
i
i = 0 (i = 1, . . . , N −1) .
A.3. Дифференцируемость предельной функции
. Итак, пусть v
n
— построенная выше минимизирующая последовательность, рав-
номерно сходящаяся к функции y. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая
функция η удовлетворяет условиям
η(a) = η(b) = 0 , η
0
(a) = η
0
(b) = 0 , hη|y
i
i = 0 (i = 1, . . . , N −1) . (A.3)
Тогда функция
v
n
(x) + tη(x)
kv
n
+ tηk

Страницы