Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 182 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Пусть y
n
и Y
n
— соответствующие нормированные собственные
функции для рассматриваемых задач Штурма–Лиувилля. Пусть, далее, z
1
, . . . , z
n−1
— произвольные непрерывно дифференцируемые функции. Заметим, что
∀y : I[y] 6 J[y] ,
откуда
min
kyk=1
y ⊥z
1
,...,z
n−1
I[y] 6 min
kyk=1
y ⊥z
1
,...,z
n−1
J[y] .
Правая часть достигает своего наибольшего значения, равного Λ
n
(в силу теоремы
Куранта), если положить z
1
= Y
1
, . . . , z
n−1
= Y
n−1
, при этом
min
kyk=1
y ⊥z
1
,...,z
n−1
I[y] 6 Λ
n
.
Остается в последнем неравенстве выбрать z
1
= y
1
, . . . , z
n−1
= y
n−1
, что ведет к
требуемому
λ
n
6 Λ
n
.
Следствие 10.4. Последовательность собственных чисел задачи Штурма–
Лиувилля стремится к бесконечности: λ
n
→ +∞.
Доказательство. Действительно, положим
p
1
= min p(x) , q
1
= min q(x) , p
2
= max p(x) , q
2
= max q(x) ,
и определим функционалы
I
j
[y] =
b
Z
a
[p
i
y
02
+ q
i
y
2
] dx (j = 1, 2) .

Страницы