Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 178 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где z =
y(x)
k
, kzk = 1.
Теорема 10.1. Все собственные значения оператора Штурма–Лиувилля L могут
быть расположены в возрастающую бесконечную последовательность
λ
1
< λ
2
< . . . < λ
n
< . . .
При этом, если y
1
, y
2
. . . — последовательность соответствующих нормирован-
ных собственных функций, то для всякого n ∈ N собственное значение λ
n
равно
минимуму функционала I[y] при условиях
b
Z
a
y
2
dx = 1 ,
b
Z
a
yy
i
dx = 0 (i = 1, . . . , n − 1)
и нулевых граничных условиях
y(a) = y(b) = 0 .
Минимум достигается на функции y
n
.
Доказательство. Как мы видели выше, утверждение теоремы справедливо при
n = 1. Предположим, что собственные значения λ
1
, . . . , λ
n−1
, соответствующие соб-
ственным функциям y
1
, . . . , y
n−1
, также определены в согласии с утверждениями
теоремы. Рассмотрим задачу на минимум функционала I[y] при условиях
y(a) = y(b) = 0 ,
b
Z
a
y
2
dx = 1 ,
b
Z
a
yy
i
dx = 0 (i = 1, . . . , n − 1) .
Как упоминалось выше, можно показать, что решение такой задачи существует и
является непрерывно дифференцируемой функцией, см. приложение A. В согласии

Страницы