Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 176 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
4. Различным собственным значениям λ
1
и λ
2
отвечают ортогональные собствен-
ные функции y
1
и y
2
:
hy
1
|y
2
i =
b
Z
a
y
1
y
2
dx = 0 .
Действительно,
(λ
1
− λ
2
)hy
1
|y
2
i = hL[y
1
]|y
2
i − hy
1
|L[y
2
]i = 0 .
Перейдем теперь к свойствам, связывающим квадратичный функционал I[y] и
оператор L[y]. Прежде всего отметим равенства
I[y] =
b
Z
a
[py
02
+ qy
2
] dx =
b
Z
a
[−(py
0
)
0
y + qy
2
] dx =
b
Z
a
L[y]y dx = hL[y]|yi. (10.5)
Положим по определению
K(f, g) =
b
Z
a
[pf
0
g
0
+ qfg] dx . (10.6)
Этот функционал является билинейным. Отметим, что
I[y] = K(y, y)
и
I(y + η) = I(y) + I(η) + 2K(y, η) .
Для функций, удовлетворяющим нулевым граничным условиям
K(f, g) =
b
Z
a
[−(pf
0
)
0
+ qf]g dx = hL[f ]|gi.

Страницы