Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 19 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
2. Введение в вариационный метод
2.1. Происхождение названия «вариационное исчисление»
Название предмета возникло в результате обозначений Лагранжа, введенных около
1760 года. Вернемся к простейшей вариационной задаче (1.16)-(1.17). Обозначим
через γ искомую кривую y = y(x) и через Iγ — интеграл
I{γ} =
Z
γ
F (x, y, y
0
) dx
вдоль кривой γ. Лагранж изменял функцию y(x), определяющую кривую γ, при-
бавляя к ней величину δy(x), которая также является функцией x. Он называл эту
величину вариацией функции y(x). Если вариация δy(x) обращается в ноль в точ-
ках x
1
и x
2
, то кривая, определенная функцией y(x) + δy(x) , x ∈ [x
1
, x
2
] , будет
проходить через концы кривой γ. Эту кривую удобно обозначить через γ + δγ. Зада-
ча состоит тогда в разыскании в данном классе кривых, соединяющих концы кривой
γ, такой кривой, для которой выполняется неравенство
∆I = I{γ + δγ} − I{γ} > 0
при любом выборе вариации δy(x), определяющей дугу γ+δγ из того же класса. Для
решения этой задачи в вариационном исчислении пользуются часто представлением
разности
∆I =
x
2
Z
x
1
[F (x, y + δy, y
0
+ δy
0
) − F (x, y, y
0
)] dx
в виде
∆I = δI +
1
2!
δ
2
I +
1
3!
δ
3
I + . . . ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
