Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 20 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где δI , δ
2
I , . . . представляют собой интегралы однородных полиномов первого, вто-
рого и высших порядков от δy и ее производной δy
0
= (δy)
0
по x, находимых при
разложении подынтегрального выражения в ∆I в ряд Тейлора по степеням δy и δy
0
.
Выражения δI , δ
2
I , . . . называются первой, второй и т.д. вариациями интеграла I.
Таковы обозначения Лагранжа, благодаря которым теория экстремума функций, по-
добных I(γ), стала называться вариационным исчислением . Отметим, что функция
F называется функцией Лагранжа.
Существует далеко идущая аналогия между вариациями δy и дифференциалом
независимой переменной dx в дифференциальном исчислении, а также между вари-
ациями δI , δ
2
I , . . . и дифференциалами df , d
2
f , . . . функции f(x).
2.2. Современная терминология
Для введения современной терминологии сделаем небольшой экскурс в теорию
функций нескольких вещественных переменных.
Напомним, что если f(x) = f(x
1
, x
2
, . . . x
n
) — функция нескольких веще-
ственных переменных или, что то же самое, — функция векторной переменной
x = (x
1
, x
2
, . . . x
n
), у нас есть две возможности ввести понятие производной f
0
.
Первая является прямым обобщением понятия дифференциала функции одной
переменной и существенно связана с существованием (евклидовой) нормы в R
n
—
модуля вектора |x| =
p
x
2
1
+ x
2
2
+ . . . + x
2
n
. Функция f называлась дифференцируе-
мой в точке x
0
, если существует линейная функция L
x
0
,
L
x
0
: h 7→ L
x
0
(h) = l
1
h
1
+ l
2
h
2
+ . . . + l
n
h
n
где h = (h
1
, h
2
, . . . h
n
) , такая, что
f(x
0
+ h) − f(x
0
) = L
x
0
(h) + o(|h|) , при |h| → 0 .
Числа l
1
, l
2
, . . . l
n
, определяющие функцию L
x
0
, конечно, зависят от x
0
. Эта линей-
ная функция и называется производной функции f в точке x
0
:
f
0
(x
0
) = L
x
0
,

Страницы