Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 22 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
(по теореме Ферма) ϕ
0
(0) = 0, если только ϕ дифференцируема в нуле. Иначе говоря,
в точке экстремума x
0
∀h : D
h
f(x
0
) = 0 ,
если только производная по вектору существует.
Если функция f дифференцируема в первом смысле (так называемая дифферен-
цируемость по Фреше), она дифференцируемы и во втором (дифференцируемость по
Гато) и ее производная f
0
(производная по Фреше) связана с производной по вектору
(производной по Гато) равенством
f
0
(x
0
)h = D
h
f(x
0
) .
Рассмотрим теперь произвольное абстрактное множество X и вещественнознач-
ную функцию f, заданную на этом множестве:
f : x 7→ f(x) , x ∈ X , f(x) ∈ R .
Такие функции называют (вещественными) функционалами. Если X — векторное
пространство, мы как и в случае вещественной функции нескольких вещественных
переменных можем вести понятие производной по вектору:
D
h
f(x
0
)
Опр.
= ϕ
0
(0) , ϕ(t) = f (x
0
+ th) , x
0
, h ∈ X , t ∈ R .
Эта производная как и в случае функций R
n
→ R называется производной по Гато.
В вариационном исчислении роль пространства X играет некоторое множество
дифференцируемых функций y (т.е. роль векторной переменной x играет функция
y(x)) и в качестве функционала f выступает интегральный функционал I:
I : y 7→ I(y) =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
