Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 24 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
2.3. Основная лемма
2.3.1. Основной вариант
Лемма 2.1. [Основная] Пусть G(x) — фиксированная непрерывная функция, опре-
деленная на интервале [x
1
, x
2
]. Если
x
2
Z
x
1
η(x)G(x) dx = 0 (2.1)
при произвольном выборе непрерывно дифференцируемой функции η(x), удовле-
творяющей условиям
η(x
1
) = η(x
2
) = 0 , (2.2)
то функция G(x) тождественно равна нулю на интервале [x
1
, x
2
]:
∀x ∈ [x
1
, x
2
] : G(x) = 0 . (2.3)
Доказательство. Воспользуемся стандартным рассуждением от противного. Пред-
полагая, что условие (2.3) нарушается, приведем пример функции η(x), удовлетво-
ряющей граничным условиям (2.2) и такой, что условие (2.1) нарушается.
Итак, пусть x
0
∈ (x
1
, x
2
) и G(x
0
) 6= 0 . Можно
x
1
x
2
a
b
x
0
считать, для определенности, что G(x
0
) > 0. Так
как G — непрерывная функция, существует целая окрестность точки x
0
, скажем
(a, b), в которой G(x) > 0:
x ∈ (a, b) ⊂ (x
1
, x
2
) ⇒ G(x) > 0 .
Положим
η(x) =
(
(x − a)
2
(x − b)
2
, x ∈ (a, b),
0 , x /∈ (a, b) .

Страницы