Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 25 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Функция η(x) имеет непрерывную производную и на концах интервала [x
1
, x
2
] об-
ращается в ноль, но
x
2
Z
x
1
ηG dx =
b
Z
a
(x − a)
2
(x − b)
2
G(x) dx > 0 ,
что противоречит (2.1). Остается заметить, что если G(x) = 0 внутри интервала
[x
1
, x
2
], то в силу непрерывности она обращается в ноль и на его концах.
2.3.2. Обобщение по гладкости
Для некоторых приложений основная лемма требуется в несколько модифициро-
ванной форме. Например, требуется, чтобы интеграл (2.1) исчезал для каждой два-
жды непрерывно дифференцируемой функции, удовлетворяющей граничным усло-
виям (2.2). Утверждение (2.3) остается в силе, но функцию η(x) надо выбрать в
следующем виде:
η(x) =
(
(x − a)
3
(x − b)
3
, x ∈ (a, b),
0 , x /∈ (a, b) .
Аналогично, основная лемма остается в силе, если требовать от η(x) производных
любого заданного порядка.
2.3.3. Обобщение на кратные интегралы
Пусть D — замкнутая и ограниченная область с гладкой границей ∂D на плоско-
сти xy и G(x, y) — непрерывная функция, заданная в этой области. Исчезновение
двойного интеграла
ZZ
D
η(x, y)G(x, y) dxdy = 0 (2.4)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
