Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 34 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
причем оно выполняется для произвольной непрерывно дифференцируемой функции
η(x), удовлетворяющей нулевым граничным условиям (3.4).
Преобразуем второе слагаемое, интегрируя по частям
x
2
Z
x
1
∂F
∂y
0
· η
0
dx =
h
∂F
∂y
0
· η
i
x
2
x
1
−
x
2
Z
x
1
d
dx
∂F
∂y
0
η dx .
Замечая, что внеинтегральные члены обращаются в ноль в силу (3.4), приведем
равенство (3.11) к виду
x
2
Z
x
1
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
η dx = 0 . (3.12)
Осталось воспользоваться основной леммой 2.1 и получить уравнение
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
= 0 . (3.13)
Это и есть уравнение Эйлера–Лагранжа.
В общем случае, это дифференциальное уравнение относительно y второго по-
рядка:
∂F
∂y
−
∂
2
F
∂x∂y
0
−
∂
2
F
∂y∂y
0
·
dy
dx
−
∂
2
F
∂y
02
·
dy
0
dx
= 0
или
∂
2
F
∂y
02
· y
00
+
∂
2
F
∂y∂y
0
· y
0
+
∂
2
F
∂x∂y
0
−
∂F
∂y
= 0 . (3.14)
Его решение, удовлетворяющее граничным условиям (3.2), и будет (если только оно
находится однозначно) минимизирующей функцией y(x).

Страницы