Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 38 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.5.2. F не зависит явно от x
В этом случае F = F (y, y
0
) и полезно иметь в виду следующее тождество
d
dx
y
0
∂F
∂y
0
− F
=
z }| {
y
00
·
∂F
∂y
0
+y
0
·
d
dx
∂F
∂y
0
−
∂F
∂x
−
∂F
∂y
· y
0
−
z }| {
∂F
∂y
0
· y
00
= −y
0
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
−
∂F
∂y
. (3.15)
Тогда, в силу
∂F
∂x
= 0 и уравнения Эйлера–Лагранжа, находим
d
dx
y
0
∂F
∂y
0
− F
= 0 ,
откуда получаем первый интеграл уравнения Эйлера–Лагранжа в этом случае
y
0
∂F
∂y
0
− F = C
1
. (3.16)
Это уравнение первого порядка, зависящее только от y и y
0
и не зависящее явно от
x. Если его удается явно разрешить относительно производной
y
0
= ψ(y, C
1
) ,
мы получаем экстремали в виде
x =
Z
dy
ψ(y, C
1
)
.

Страницы