Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 39 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.5.3. Случай полной производной F =
d
dx
G(x, y)
В этом случае интеграл I не зависит от выбора функции y:
I = G(x
2
, y
2
) − G(x
1
, y
1
) .
Что это означает для уравнения Эйлера–Лагранжа? Будем считать, что G — дважды
непрерывно дифференцируема. В силу
F =
∂G
∂x
+
∂G
∂y
· y
0
и
∂
2
G
∂x∂y
=
∂
2
G
∂y∂x
,
получаем
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
=
∂
2
G
∂y∂x
+
∂
2
G
∂y
2
· y
0
−
d
dx
·
∂G
∂y
=
z}|{
∂
2
G
∂y∂x
+
∂
2
G
∂y
2
· y
0
| {z }
−
z}|{
∂
2
G
∂x∂y
−
∂
2
G
∂y
2
· y
0
| {z }
= 0 ,
т.е. уравнение Эйлера–Лагранжа выполняется тождественно.
Естествен вопрос: каков общий случай тождественного выполнения уравнения
Эйлера–Лагранжа? Воспользуемся раскрытой записью, см. (3.14)
∂
2
F
∂y
02
· y
00
+
∂
2
F
∂y∂y
0
· y
0
+
∂
2
F
∂x∂y
0
−
∂F
∂y
| {z }
зависят только от x,y,y
0
= 0 .
Очевидно, что необходимо выполнение условия
∂
2
F
∂y
02
= 0 ,

Страницы