Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 40 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
т.е. F может быть лишь линейной функцией от y
0
:
F = P (x, y) + Q(x, y) · y
0
.
В этом случае
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
=
∂P
∂y
+
∂Q
∂y
· y
0
−
dQ
dx
=
∂P
∂y
+
z }| {
∂Q
∂y
· y
0
−
∂Q
∂x
−
z }| {
∂Q
∂y
· y
0
=
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
.
Уравнение Эйлера–Лагранжа в этом случае имеет вид
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
= 0 ,
но это и есть условие того, что F — полная производная, при этом
P =
∂G
∂x
, Q =
∂G
∂y
.
Итак, мы получили необходимое и достаточное условие тождественного выпол-
нения уравнения Эйлера–Лагранжа:
F =
d
dx
G(x, y) .
Из этого наблюдения получается полезное следствие.
Теорема 3.2. Пусть
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx и J =
x
2
Z
x
1
H(x, y, y
0
) dx ,

Страницы