Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 53 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
5. Обобщения
5.1. Случай нескольких искомых функций
Получим дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять дважды
непрерывно дифференцируемые функции y(x), . . . z(x), чтобы быть экстремалями
интеграла
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, . . . , z, y
0
, . . . , z
0
) dx . (5.1)
Обозначим через y(x) , . . . , z(x) функции, доставляющие интегралу I наимень-
шее (наибольшее) значение и построим однопараметрическое семейство сравнимых
функций
Y (x) = y(x) + tη(x) , . . . Z(x) = z(x) + tζ(x) ,
где η(x), . . . ζ(x) — произвольные непрерывно дифференцируемые функции, удовле-
творяющие граничным условиям
(
η(x
1
) = 0 ,
η(x
2
) = 0 ,
. . .
(
ζ(x
1
) = 0 ,
ζ(x
2
) = 0 .
Замещая в интеграле I экстремальные функции y, . . . , , z сравнимыми функциями,
получим функцию одной вещественной переменной t
I(t) =
x
2
Z
x
1
F (x, Y, . . . , Z, Y
0
, . . . , Z
0
) dx ,
где Y
0
, . . . Z
0
обозначают производную по x. При t = 0 интеграл I получает свое
экстремальное значение и, следовательно, его вариация δI равна нулю:
I
0
(0) = 0 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
