Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 56 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
в явном виде y = y(x) может быть чрезмерно ограничительным. В этом случае
следует перейти к параметрическому представлению
(
x = x(τ ) ,
y = y(τ) ,
τ ∈ [τ
1
, τ
2
] .
Тогда (в предположении ˙x 6= 0)
I =
τ
2
Z
τ
1
F
x, y,
˙y
˙x
˙x dτ
=
τ
2
Z
τ
1
G(x, y, ˙x, ˙y) dτ ,
(5.4)
где
˙x =
dx
dτ
, ˙y =
dy
dτ
, G = F
x, y,
˙y
˙x
· ˙x .
Система Эйлера–Лагранжа примет вид
∂G
∂x
−
d
dτ
∂G
∂ ˙x
= 0 ,
∂G
∂y
−
d
dτ
∂G
∂ ˙y
= 0 . (5.5)
Возникает естественный вопрос, на сколько серьезные изменения при этом про-
изошли по сравнению с исходным уравнением Эйлера–Лагранжа? Подвергнем полу-
ченную систему небольшому анализу в этом направлении. Заметим, что
∂G
∂x
=
∂F
∂x
· ˙x ,
∂G
∂ ˙x
=
∂F
∂y
0
·
−
˙y
˙x
2
· ˙x + F = F − y
0
∂F
∂y
0
,
и (ввиду тождества (3.15))
d
dτ
∂G
∂ ˙x
=
d
dx
∂G
∂ ˙x
·
dx
dτ
= ˙x
d
dx
F − y
0
∂F
∂y
0
= ˙x
n
y
0
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
+
∂F
∂x
o
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
