Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 58 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
анализ которого весьма не прост. Однако, если воспользоваться параметрической
формой в полярных координатах
(
x = r(θ) cos θ ,
y = r(θ) sin θ ,
интеграл I приводится к виду
I =
θ
2
Z
θ
1
r
p
r
2
+ r
02
dθ ,
где функция Лагранжа не зависит явно от θ: поиск функции y = y(x), доставляющей
экстремальное значение интегралу I, подменен поиском функции r(θ). Мы получа-
ем возможность сразу выписать первый интеграл, см. (3.16), уравнения Эйлера–
Лагранжа:
r
0
rr
0
√
r + r
02
− r
p
r + r
02
= C
1
,
и решить задачу
r
3
= −C
1
p
r
2
+ r
02
⇒
θ =
Z
Cdr
√
r
6
− C
2
r
2
=
Z
Cdr
r
3
q
1 −
C
2
r
4
= −
1
2
Z
d
C
r
2
q
1 −
C
r
2
2
= −
1
2
arcsin
C
r
2
+ θ
0
⇒
C
r
2
= sin 2(θ
0
− θ) ⇒
r =
r
0
p
|sin 2(θ
0
− θ)|
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
